如何计算基于向量的平行四边形的面积

在任意两个非共线和非零向量上，可以构造一个平行四边形。如果您将两个向量的原点合并在一个点上，则这两个向量将收缩平行四边形。完成图的侧面。

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如果给定了向量的坐标，则求出它们的长度。例如，让向量A在平面中具有坐标（a1，a2）。那么向量A的长度是| A | =√（a1²+a2²）。类似地，我们找到向量B的模块：| B | =√（b1²+b2²），其中b1和b2是向量B在平面上的坐标。

平行四边形区域可通过公式S = | A |•| B |•sin（A ^ B）找到，其中A ^ B是给定向量A和B之间的角度。正弦可以使用基本三角恒等式通过余弦找到：sin²α+cos²α= 1。余弦可以用写在坐标中的向量的标量积表示。

向量A与向量B的标量积用（A，B）表示。根据定义，它等于（A，B）= | A |•| B |•cos（A ^ B）。在坐标中，标量积的写法如下：（A，B）= a1•b1 + a2•b2。从这里我们可以表示向量之间的角度的余弦值：cos（A ^ B）=（A，B）/ | A |•| B | =（a1•b1 + a2•b2）/√（a1²+a2²）•√（a2²+ b2²）。在分子中，是标量积；在分母中，是向量的长度。

现在我们可以从主要的三角恒等式表示正弦：sin²α=1-cos²α，sinα=±√（1-cos²α）。如果我们假设向量之间的角度α为锐角，则可以舍弃带有正弦的负号，而只留下加号，因为锐角的正弦只能为正（或在零角处为零，但此处的角度为非零，则显示为向量的非共线性）。

现在我们需要在正弦公式中用坐标表达式代替余弦。此后，仅将结果写入平行四边形区域公式即可。如果完成所有这些操作并简化了数值表达式，则可以得出S = a1•b2-a2•b1。因此，通过公式S = a1•b2-a2•b1可以找到在矢量A（a1，a2）和B（b1，b2）上构造的平行四边形的面积。

结果表达式是由向量A和B的坐标组成的矩阵的行列式：a1 a2b1 b2。

确实，为了获得二维矩阵的行列式，我们需要乘以主对角线（a1，b2）的元素，并从中减去侧对角线（a2，b1）的元素的乘积。